Urodził się 3 listopada 1920 w Drohobyczu jako syn Aleksego, inżyniera technologa, i Janiny z Sagatowskich, inżyniera chemika. Z Warszawą związał się przede wszystkim poprzez pracę swojego ojca, inżyniera, który w 1929 roku otrzymał propozycję objęcia stanowiska dyrektora administracyjnego w Państwowej Fabryce Karabinów przy ul. Dworskiej 29/31 (obecnie ul. Kasprzaka) na Woli. Z tej okazji rodzina Dawidowskich przeniosła się do stolicy, najpierw zamieszkała w Piasecznie, a następnie w mieszkaniu służbowym ojca znajdującym się przy fabryce. Uczęszczał do koedukacyjnej Prywatnej Szkoły Powszechnej Zofii Szadebergowej przy ul. Hożej 48.
W 1932 rozpoczął naukę w męskim Gimnazjum im. Stefana Batorego na ul. Myśliwieckiej.
W 1933 dołączył do 23. Warszawskiej Drużyny Harcerzy im. Bolesława Chrobrego (23. WDH), od koloru chust nazywanej „Pomarańczarnią”. Był członkiem zastępu „Jeleni” w III plutonie prowadzonym przez Stanisława Prowansa. W lipcu 1935 uczestniczył w Jubileuszowym Zlocie ZHP w Spale. Po utworzeniu w 1936 Gniazda 23. WDH, przekształconego w 1938 w Szczep 23. WDH, został członkiem jednego z czterech specjalistycznych zastępów („krótkofalarskiego“) w drużynie starszych harcerzy, i uzyskał stopień ćwika.
W 1937, po ukończeniu gimnazjum, w tej samej szkole rozpoczął naukę w dwuletnim licem ogólnokształcącym. Wraz m.in. z Janem Bytnarem (z którym siedział w jednej ławce), Tadeuszem Zawadzkim, Janem Wuttke i Andrzejem Zawadowskim uczył się w klasie matematyczno-fizycznej. W maju 1939 zdał w „Batorym” maturę.
Używał wyłącznie swego drugiego imienia. Był wysokim, szczupłym blondynem. Wyróżniał się dużą sprawnością fizyczną – grał w koszykówkę, doskonale pływał, uzyskiwał wysokie wyniki w zawodach lekkoatletycznych.

W czasie polskiej wojny obronnej, 8 września 1939, po apelu płk. Umiastowskiego wymaszerował z Warszawy wraz z grupą starszych harcerzy 23. WDH w składzie Batalionu Harcerskiego, dowodzonego przez komendanta Szczepu "Pomarańczarnia" harcmistrza Lechosława Domańskiego "Zeusa", by na początku października powrócić wraz z nimi do Warszawy.
W okresie październik – grudzień 1939 był członkiem tajnej organizacji Polska Ludowa Akcja Niepodległościowa (PLAN) i uczestnikiem jej akcji „małego sabotażu”, a po wycofaniu się z PLAN-u wraz z kolegami z 23. WDH, od początku 1940 do czerwca tego roku był łącznikiem w komórce więziennej ZWZ, utrzymującej łączność między konspiracją wojskową a więzieniami warszawskimi: Pawiak i Daniłowiczowska (Areszt Centralny).
We wrześniu 1940 rozpoczął naukę w jawnej Państwowej Szkole Budowy Maszyn, dawnej Państwowej Wyższej Szkole Budowy Maszyn i Elektrotechniki im. H. Wawelberga i S. Rotwanda w Warszawie.

Wiosną 1941, wraz z grupą przyjaciół z 23. WDH, wstąpił do Szarych Szeregów chorągwi Warszawskiej (Ul "Wisła"). Objął dowodzenie drużyną w hufcu "Mokotów Górny" (Rój MG), kierowanym od lata 1942 przez Tadeusza "Zośkę" Zawadzkiego. Razem ze swoją drużyną uczestniczył w działaniach Organizacji Małego Sabotażu "Wawer", do których skierowany został hufiec "MG" wraz z całym Okręgiem "Południe" Chorągwi Warszawskiej. Był jednym z najaktywniejszych członków „Wawra”, wykazując się w czasie przeprowadzanych akcji dużym zaangażowaniem, pomysłowością i odwagą. Celował m.in. w zarzucaniu polskich flag na druty tramwajowe, skąd Niemcom szczególnie trudno było je zdjąć (konieczne było sprowadzanie wagonów naprawczych lub wozów strażackich z drabinami). Zerwał także wielką hitlerowską flagę z gmachu PKO przy ul. Marszałkowskiej 134.
Największy rozgłos przyniosło mu jednak zdjęcie 11 lutego 1942 niemieckiej tablicy z monumentu Mikołaja Kopernika i związane z tym dalsze działania, które zastępca komendanta głównego „Wawra” Czesław Michalski nazwał w „wojną pomników”.

W 1940 na polecenie władz niemieckich dokonano zasłonięcia napisów wyrytych na cokole pomnika Mikołaja Kopernika. Napis MIKOŁAYOWI KOPERNIKOWI RODACY (od strony Pałacu Zamoyskich) zasłonięto tablicą w języku niemieckim DEM GROSSEN ASTRONOMEN NIKOLAUS KOPERNIKUS (Wielkiemu astronomowi Mikołajowi Kopernikowi). Pomimo neutralnej treści tablica była odbierana jako akt germanizacji astronoma.
Dawidowski postanowił usunąć niemieckojęzyczną tablicę i odsłonić polski napis w dniu 19 lutego 1942 (dzień urodzin Kopernika). Przez kilka dni krążył wokół pomnika, rozważając różne warianty planu działania. Z uwagi na ożywiony ruch uliczny w tym punkcie miasta, planował przeprowadzenie akcji wcześnie rano, kiedy było jeszcze ciemno.
11 lutego ok. 6.00 rano pojawił się pod monumentem. Było bardzo mroźno, temperatura wynosiła ok. -20 stopni Celsjusza. Chcąc sprawdzić, jak mocno są zaciśnięte śruby mocujące, Dawidowski wszedł na cokół. Tam stwierdził, że można je odkręcić gołymi rękoma. Było to efektem celowego posmarowania śrub towotem przez pracownika zarządu miasta rzeźbiarza Maksymiliana Potrawiaka podczas montażu tablicy w 1940. W tej sytuacji „Alek” postanowił zrealizować swój plan natychmiast. Działając bez ubezpieczenia (kilkadziesiąt metrów od pomnika, w kamienicy przy ul. Krakowskie Przedmieście 1, znajdowała się siedziba Miejskiej Komendy Policji z wystawionym zewnętrznym posterunkiem), „Alek” ostrożnie odkręcił śruby i tablica z hukiem zsunęła się po kamiennych stopniach pomnika. Przechodzący ulicą przechodnie nie zwrócili uwagi na podejrzany hałas, a granatowy policjant prawdopodobnie schronił się przed mrozem wewnątrz budynku. Dawidowski przeciągnął blisko stukilogramową tablicę na róg ulic Oboźnej i Krakowskiego Przedmieścia, gdzie ukrył ją w pryzmie śniegu. Dwa dni później tablica została przewieziona przez niego, Jana Rossmana i Andrzeja Makólskiego na sankach na Żoliborz. Ukryto ją w piwnicy Dawidowskich przy ul. Mickiewicza 18, a w czerwcu 1942 przewieziono do ogrodu rodziny Rossmanów przy ul. Józefa Sułkowskiego 29 i tam zakopano.

Za zdjęcie niemieckiej tablicy Dawidowski otrzymał od Komendanta Głównego „Wawra” Aleksandra Kamińskiego honorowy pseudonim wawerski „Kopernicki”. Jednocześnie został ukarany za przeprowadzenie akcji bez zgody dowództwa.
Jedną z czterech śrub, którą do cokołu była przymocowana tablica, „Alek” podarował swojej dziewczynie Barbarze Sapińskiej.

Barbara Sapińska - narzeczona "Alka"
Tydzień po zdjęciu tablicy na rozkaz Niemców z cokołu skuto polskie napisy. Po zakończeniu pracy przez polskich kamieniarzy Dawidowski namalował czarną farbą na wypolerowanej powierzchni cokołu napis Mikołayowi Kopernikowi – Rodacy. Napis usunięto dwa dni później, a monument zaczął być obserwowany przez niemieckich agentów. Polski napis pojawił się na nim po raz drugi w Wielką Sobotę 4 kwietnia. Ostatecznie 29 kwietnia 1942 na monumencie umieszczono nową tablicę o tej samej co poprzednia treści – DEM GROSSEN ASTRONOMEN NICOLAUS KOPERNIKUS.
W odwecie za wyczyn Dawidowskiego, Niemcy polecili zniszczyć pomnik Jana Kilińskiego, znajdujący się na placu Krasińskich. Dzięki zabiegom Stanisława Lorentza udało się jednak uzyskać ich zgodę na demontaż monumentu i zdeponowanie go w podziemiach Muzeum Narodowego. 24 lutego w Warszawie rozplakatowano obwieszczenie podpisane przez gubernatora dystryktu Ludwiga Fischera informujące, że w odwecie za „usunięcie przez ręce łobuzerskie z pobudek politycznych” tablicy z niemieckim napisem z pomnika Kopernika, będzie usunięty pomnik Jana Kilińskiego.
Po ukazaniu się obwieszczenia, Dawidowski zaczął obserwować prace rozbiórkowe pomnika Kilińskiego na placu Krasińskich. Dowiedziawszy się od robotników, że nie są pracownikami Zarządu Miejskiego i zostali wynajęci do wykonania tej pracy bez podawania nazwisk i adresów, Dawidowski zaproponował im odkupienie posągu za dwa „górale”, tj. kwotę 1000 złotych. Pewni swego osobistego bezpieczeństwa przystali oni na tę propozycję, uznając ją za świetny kawał zrobiony Niemcom. Transakcja nie doszła jednak do skutku, gdyż jeszcze przed wpłaceniem kilkuset złotych zaliczki na plac Krasińskich przyjechała ciężarówka przysłana po pomnik, w której obok kierowcy siedział niemiecki policjant. Dawidowski otrzymał od robotników tylko szablę Kilińskiego, którą zdołali ukryć w czasie załadunku posągu.
Dawidowski pobiegł za ciężarówką, starając się nie tracić jej z oczu aż do końca jej trasy, którym okazał się gmach Muzeum Narodowego. Tam wyładowano posąg. Jeszcze tego samego wieczoru „Alek” wykonał czarną farbą na murach muzeum dużymi literami napis „Jam tu. Ludu W-wy. Kiliński Jan!”. Z uwagi na trwałość farby, ślady usuniętego na rozkaz Niemców napisu były jeszcze widoczne przez dłuższy czas.

Dawidowski umieścił także na cokole pomnika Kopernika plakat o treści: „W odwet za zniszczenie pomnika Kilińskiego zarządzam przedłużenie zimy o 6 tygodni. (-) Mikołaj Kopernik astronom”. Nalepki o takiej samej treści pojawiły się także na obwieszczeniach Fischera. Żart okazał się proroczy – w 1942 zima przeciągnęła się aż do kwietnia.
Wcześniej, podczas próby sfotografowania pomnika po zdjęciu tablicy, Dawidowskiego zatrzymał niemiecki żandarm. Niemiec nie aresztował go, jednak wylegitymował i odebrał aparat fotograficzny. Po tym wydarzeniu „Alek” otrzymał rozkaz bezzwłocznego opuszczenia miasta. W okresie kwiecień – wrzesień 1942, w związku z zagrożeniem dekonspiracją, ukrywał się w majątku Olesinek koło Góry Kalwarii, należącym do Aleksandry Niewiadomskiej.
Wyjazd z Warszawy spowodował przerwanie nauki w Państwowej Szkole Budowy Maszyn.

Ze swoją dziewczyną Barbarą Sapińską (obok) oraz Danutą Zdanowiczówną i Anną Pyrzykowską w majątku Olesinek
Po powrocie do Warszawy we wrześniu 1942 ukrywał się. Mieszkał m.in. w mieszkaniu swojej dziewczyny Barbary Sapińskiej przy ul. Grottgera 23 m. 7 oraz przy ul. Natolińskiej. Od września 1942 do początku 1943 pracował w straży przemysłowej fabryki słodyczy Fuchsa przy ul. Topiel 12.

Po utworzeniu Grup Szturmowych, objął dowodzenie 1. drużyny (SAD-100) hufca (plutonu) GS "Południe" (SAD), na którego czele stał Jan Bytnar "Rudy". W 1942 po odbyciu kursu podharcmistrzowskiego ("Szkoła za lasem") został mianowany podharcmistrzem (ps. instruktorski "Koziorożec").
W styczniu 1943 został elewem Zastępczego Kursu Szkoły Podchorążych Rezerwy Piechoty zorganizowanego przez Kedyw KG AK. Brał udział w kilku akcjach rozbrojeniowych oraz w ewakuacji mieszkania przy ul. Brackiej 23 (akcja "Bracka" 2 lutego 1943). Po aresztowaniu "Rudego" (23 marca 1943) pełnił przez kilka dni funkcję komendanta Hufca SAD.
Podczas akcjipod Arsenałem (26 marca 1943), zorganizowanej w celu odbicia Jana Bytnara „Rudego”, dowodził sekcją „Granaty” w grupie „Atak”. Ubezpieczając teren akcji od strony północnej, postrzelił idącego w towarzystwie kobiety ulicą Nalewki oficera SS.
W czasie odskoku w kierunku Starego Miasta został ciężko ranny w brzuch podczas starcia z Niemcami z warszawskiej centrali Arbeitsamtu (Urzędu Pracy) mieszczącej się w pałacu Pod Czterema Wiatrami przy ulicy Długiej 38/40.
Został ewakuowany zatrzymanym niemieckim samochodem. W pościg za autem ruszyła ciężarówka Wehrmachtu, która zablokowała ulicę Długą przy placu Krasińskich. „Alek” przez uchylone drzwi rzucił w kierunku Niemców granat, co umożliwiło bezpieczny odwrót. Na własną prośbę zamiast do sanitariatu zorganizowanego dla potrzeb akcji przy ul. Ursynowskiej 46 na Mokotowie został przewieziony do mieszkania swego przyjaciela Andrzeja Zawadowskiego przy alei Wojska Polskiego 3 m.1 na Żoliborzu.
Rana postrzałowa brzucha okazała się bardzo poważna i wymagała natychmiastowej interwencji chirurgicznej. Dawidowski został przewieziony do Szpitala Dzieciątka Jezus przy ul. Nowogrodzkiej. Jego stan bardzo szybko się pogarszał, zmarł w szpitalu 30 marca. Tego samego dnia w Szpitalu Wolskim przy ul. Płockiej 26 zmarł także Jan Bytnar „Rudy”.
Maciej Aleksy Dawidowski został pochowany pod przybranym nazwiskiem Aleksego Czerwińskiego na Cmentarzu Powązkowskim w grobie rodzinnym Zdanowiczów. Po wojnie jego ciało ekshumowano i przeniesiono do grobu Jana Bytnara w kwaterze Harcerskiego Batalionu Armii Krajowej „Zośka” (A-20) na Cmentarzu Wojskowym na Powązkach. Ponowny pogrzeb odbył się 4 kwietnia 1946.

Wspólny grób „Rudego” i „Alka” na warszawskich Powązkach

Za bohaterską postawę wobec wroga i śmierć na posterunku rozkazem Komendanta Sił Zbrojnych w Kraju gen. Stefana Roweckiego „Grota” z 3 maja 1943 został pośmiertnie odznaczony Krzyżem Orderu Virtuti Militari V klasy i mianowany sierżantem podchorążym. Był pierwszym harcerzem Szarych Szeregów, któremu nadano to najwyższe polskie odznaczenie wojskowe.

W 2011 został odznaczony Krzyżem Komandorskim z Gwiazdą Orderu Odrodzenia Polski